求多项式的有理根可以通过以下步骤进行：
有理根定理
如果多项式的系数是整数，那么多项式的有理根形式为 \（ \frac{p}{q} \），其中 \（ p \） 是常数项 \（ a_0 \） 的因子，\（ q \） 是最高次项系数 \（ a_n \） 的因子，且 \（ p \） 和 \（ q \） 互质。
列出候选根
列出所有可能的 \（ \frac{p}{q} \） 形式的数，其中 \（ p \） 是 \（ a_0 \） 的因子，\（ q \） 是 \（ a_n \） 的因子。
代入检验
将每个候选根 \（ \frac{p}{q} \） 代入多项式，如果结果为0，则 \（ \frac{p}{q} \） 是一个有理根。
余数定理
如果 \（ \frac{p}{q} \） 是根，则 \（ P\left（\frac{p}{q}\right） = 0 \）。根据余数定理，这等价于 \（ a_n\left（\frac{p}{q}\right）^n + a_{n-1}\left（\frac{p}{q}\right）^{n-1} + \ldots + a_1\left（\frac{p}{q}\right） + a_0 = 0 \）。两边同乘以 \（ q^n \） 后化简，可以得到 \（ p \） 是 \（ a_0 \） 的因子，\（ q \） 是 \（ a_n \） 的因子。
因式分解和试除法
如果多项式可以因式分解，那么分解后的一次式对应的根可能是有理根。
对于某些特定的三次方程，可以尝试将 \（ \pm1, \pm2, \pm3, \ldots \） 分别代入方程，观察是否可能成为根。
数值方法
如果以上方法都无法找到有理根，可以使用数值算法（如牛顿法或迭代法）来寻找有理根的近似值。
请根据具体情况选择合适的方法来求有理根