柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）是数学中一个非常重要的不等式，它描述了两个向量点积与各自模长乘积的关系。具体来说，柯西不等式表明，对于任意的两个向量 \（ \mathbf{a} \） 和 \（ \mathbf{b} \），以下不等式成立：
\[ （\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}）^2 \leq （\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}）（\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}） \]
其中 \（ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \） 表示向量 \（ \mathbf{a} \） 和 \（ \mathbf{b} \） 的点积，\（ \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} \） 和 \（ \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} \） 分别表示向量 \（ \mathbf{a} \） 和 \（ \mathbf{b} \） 的模长的平方。
等号成立的条件是向量 \（ \mathbf{a} \） 和 \（ \mathbf{b} \） 线性相关，即存在实数 \（ k \） 使得 \（ \mathbf{a} = k\mathbf{b} \） 或者 \（ \mathbf{b} = k\mathbf{a} \）。
柯西不等式在许多数学领域中都有应用，如线性代数、数学分析、概率论、向量代数等。它在证明不等式、求解函数的极值等问题中非常有用。