复数的引入主要基于以下几个原因：
解决负数平方根问题：
在实数范围内，负数没有平方根。例如，方程 \（x^2 = -1\） 在实数范围内无解。复数的引入解决了这一问题，通过定义 \（i^2 = -1\），使得我们可以为负数定义平方根。这一概念扩展了平方根的定义，使我们能够处理更广泛的数学和物理问题。
数学理论的发展：
复数理论为数学开辟了新的研究领域，如复分析。复分析中的许多重要结果，如柯西-黎曼方程和复积分定理，都是建立在复数的基础上的。这些理论不仅在纯数学中具有重要地位，还在实际应用中展现了强大的威力。
物理学的应用：
在物理学中，复数被广泛应用于描述具有方向性的物理量，如力、速度和电流电压分析。复数还用于解决一些复杂的微分方程，如弹簧振子的运动方程和量子力学中的薛定谔方程。复数的引入使得这些问题的解法更加简洁和高效。
工程学和信号处理：
在工程学和信号处理中，复数被用于描述交流电流的幅度和相位，简化了交流信号的处理。复数运算（如复数的加减乘除、模和幅角）在编程中非常有用，可以提高代码的可读性和可维护性。
量子力学：
在量子力学中，复数是数学框架的重要组成部分。复数使得量子态、叠加原理和概率计算等核心特性得以精确描述。复数还直接参与了对物质和能量的量子行为的描述，尤其是波函数的表达。薛定谔方程是一个复数微分方程，没有复数，就无法描述量子态的演化。
综上所述，复数的引入不仅解决了负数平方根的问题，还推动了数学和物理学等多个领域的发展，并在工程学和信号处理中发挥了重要作用。