分子有理化是将一个分式中的分子通过数学变换，化为不含根号的有理式。这个过程通常用于简化分式、求极限、证明函数的单调性等数学问题。以下是分子有理化的基本步骤和示例：
基本步骤
识别无理式：
确定分式中分子部分的无理式。
分子分母同乘：
选择一个适当的表达式，使得分子乘以该表达式后变为有理式。
化简：
对新的分式进行化简，得到最终的有理式。
示例
假设有一个分式 \（\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}\），我们想要有理化分子。
识别无理式：
分子是无理式 \（\sqrt{a} - \sqrt{b}\）。
分子分母同乘：
同乘以 \（\sqrt{a} - \sqrt{b}\），得到：
\（\frac{（\sqrt{a} - \sqrt{b}）（\sqrt{a} - \sqrt{b}）}{（\sqrt{a} + \sqrt{b}）（\sqrt{a} - \sqrt{b}）}\）
化简：
利用平方差公式 \（（a - b）（a + b） = a^2 - b^2\），化简得到：
\（\frac{a - 2\sqrt{ab} + b}{a - b}\）
应用举例
比较 \（\sqrt{7} - \sqrt{6}\） 与 \（\sqrt{6} - \sqrt{5}\） 的大小：
识别无理式：
分子是无理式 \（\sqrt{7} - \sqrt{6}\）。
分子分母同乘：
同乘以 \（\sqrt{7} + \sqrt{6}\），得到：
\（\frac{（\sqrt{7} - \sqrt{6}）（\sqrt{7} + \sqrt{6}）}{（\sqrt{7} + \sqrt{6}）（\sqrt{7} - \sqrt{6}）}\）
化简：
利用平方差公式，化简得到：
\（\frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{6}}\）
由于 \（\sqrt{7} + \sqrt{6} > \sqrt{6}\），所以 \（\frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{6}} < \frac{1}{\sqrt{6}}\）。
因此，\（\sqrt{7} - \sqrt{6} < \sqrt{6} - \sqrt{5}\）。
总结
分子有理化是一种数学技巧，用于简化分式、求极限、证明函数的单调性等。通过乘以适当的表达式，可以将分子中的无理式转化为有理式，从而简化计算过程。