事业单位出题通常由以下单位负责：
1. 人力资源和社会保障部门：负责事业单位人事管理，包括考试和面试等环节。
2. 事业单位主管部门：各行业和领域的主管部门，如教育、医疗、文化等，可能会组织或委托专门的考试机构负责相关考试出题。
3. 专业考试机构：如中国人事考试中心、国家公务员考试命题中心等，也可能承接事业单位考试命题工作。
4. 招聘单位的人力资源部门或招聘委员会：根据岗位要求和职责制定考试内容。
5. 第三方机构：如省考试院，可能会参与出题以节约时间和减少泄题风险。
6. 特定情况下，由县委组织人事、纪检监察、机要保密、公安等机关部门共同组织参与实施。
通常情况下，大型事业单位考试由当地人社局所属的人力资源社会保障考试中心命题和组织，而一些单独招聘的事业单位可能自行命题