硬币悖论可以通过简单的几何和物理原理来解释，不需要复杂的数学计算。这个悖论通常被误解为硬币在旋转过程中图案位置不变，但实际上这是由于参考系的变换导致的视觉效果。
硬币悖论解释：
参考系变换
当一个物体（如硬币）围绕另一个物体（如另一个硬币）旋转时，如果以旋转的硬币为参考系，那么旋转的硬币看起来是静止的。
圆周运动
当硬币沿一个圆形路径滚动时，如果以圆心为参考系，圆心实际上走过的路径是圆周长的一部分。
硬币旋转
当硬币旋转时，如果以硬币边缘为参考系，硬币看起来是静止的。
解决硬币悖论：
设定参数
假设大圆的半径为 \（ R \），小圆的半径为 \（ r \）。
圆心路径
当小圆沿大圆滚动一圈时，小圆的圆心实际上走过的路径是 \（ 2\pi R \）。
计算圈数
小圆的周长是 \（ 2\pi r \），所以小圆需要滚动的圈数是 \（\frac{2\pi R}{2\pi r} = \frac{R}{r}\）。
例子：
如果大圆半径是3，小圆半径是1，那么公转圆的圈数是 \（\frac{3}{1} = 3\）。
结论：
硬币在平坦的路径上滚动，在两种参标系下轮子（硬币）都转了一圈。
当路径有些弯曲时，我们的大脑会自动计算出一个随轮子运动的参标系，因此我们仍然认为轮子转了一圈。
当路径弯曲很大时，我们的大脑又会以大地为参考系，这时轮子的转数就不等于滚过的路程除以周长，从而产生了疑惑。
总结：
硬币悖论实际上是一个关于参考系变换和圆周运动的直观问题。通过理解旋转和滚动的几何关系，我们可以解释为什么硬币在旋转过程中图案位置不变。这个解释基于物理原理，不需要复杂的数学计算